1. Probability and Counting

확률의 기초 용어(표본공간과 사건, 셈 원리)

Aug 22, 2023

Contents

1. 확률과 셈 원리 ✅ 확률의 정의 ✅ Naive define of Probability ✅ 셈 원리(Counting Principle)✅ 이항계수(Binomial Coefficient)

이미지 출처) 강쌤의 수학 블로그

1. 확률과 셈 원리

수리통계학, 시뮬레이션에 근간이 되는 내용

[하버드] 확률론 기초: Statistics 110

부스트코스 무료 강의

https://www.boostcourse.org/ai152/joinLectures/195039

모르면 모른다고 사실대로

전략 연습 문제를 보면, 풀이에 대한 설명과 정당화, 생각하는 방식 등을 예제로 볼 수 있다.

✅ 확률론의 활용영역

유전학, 물리학, 계랑경제학, 금융, 역사학, 정치

인문학, 사회과학계에서도 중요도와 활용이 늘어나고 있음

도박과 게임 - 통계에서 여러 번 연구된 주제이다(페르마, 파스칼)

인생 전반: (수학이 활실성에 대한 학문이라면,) 확률은 불확실성(uncertainty)을 계량화하는 것을 가능하게 해 준다.

Mostella & Wallace의 Federalist Papers

미국 헌법 비준과 관련

확률, 베이즈 규칙 사용

Mosteller & Wallace Apply Computing in Disputed Authorship Investigation of The Federalist Papers : History of Information

Mosteller & Wallace Apply Computing in Disputed Authorship Investigation of The Federalist Papers

https://www.historyofinformation.com/detail.php?id=4333

Gambling

54장

스페이드 하트 다이아몬드 클럽 4종

에이스 2~10 잭 퀸 킹 13종

13*4 + 조커 2장 = 54장

확률에서 카드를 얘기할 때는 52장으로 보는 듯

Fermat & Pascal 서신

도박의 확률에 대해 언급

편지를 주고받음으로써 확률로 작업하는 방법을 개발

Issac Newton

주사위 도박에 대해 틀렸었음

직관에 어긋나 있음

확률은 직관에 어긋나있는 게 많다. 문제를 많이 풀어야 직관적으로 생각할 수 있다.

✅ 확률의 정의

수학 = 확실성의 논리

확률 = 불확실성의 논리 ( 불확실성을 수치로 나타내는 것)

실험(experiment): 가능한 특정한 결과가 존재

표본 공간(Sample space): 실험의 모든 가능한 결과의 집합

A Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment

사건(event): 표본공간의 부분 집합

An event is a subset of the sample space.

P(A) = \dfrac{A사건이 일어나는 경우의 수}{모든 사건이 일어나는 경우의 수}

⭐사건을 부분 집합(subset)으로 생각하기

실험: 2개의 주사위를 굴린다고 가정

표본 공간 = 36개의 결과 = 집합

A = 하나의 사건 = 어떤 부분 집합

확통을 배우는 내내 생각할 질문

어떤 특정한 사건이 발생할 승산(odds)이 무엇일까?

순환논리(circularity)

동전이 공정하다는 것은 앞면과 뒷면이 나올 확률이 같다는 것

동등한 가능성으로 취급하고 어떤 사건의 확률을 알고 싶다면, 다음과 같이 구할 수 있다.

✅ Naive define of Probability

P(A) = 사건 A에 대한 확률

P(A) = \dfrac{A사건이 일어나는 경우의 수}{모든 사건이 일어나는 경우의 수}

내포하고 있는 가정 - 가정을 분명히 하기

동등한 가능성 → 모든 결과가 같은 확률로 나온다. → 대칭성(symmetry)

유한한 많은 결과가 있다. → 유한 표본 공간(finite sample space) → 유한한 분모

모든 사건이 발생할 확률은 같다

유한한 표본공간

항상 이 가정이 만족되는 것은 아니기 때문에 적용 불가한 경우들이 있다!

✅ 셈 원리(Counting Principle)

곱의 법칙(multiplication rule)

발생 가능한 경우의 수가 n1, n2, …, nr가지인 1, 2, … r번의 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 수는 n1 x n2 x … x nr

실험은 순차적으로 진행하게 됨

결합된 실험(Combined experiments) = 전체적인 가능한 실험의 결과

귀납법을 사용해서 증명 가능
트리 다이어그램을 통해 가시화 가능

아이스크림 예제

초콜릿 바닐라 스트로베리, 2개의 서로 다른 콘 타입

첫 번째 실험: 2개의 콘 타입 중 하나 선택

두 번째 실험: 원하는 맛을 선택

콘 타입을 선택하면 맛 하나를 선택할 수 있음

맛을 선택하고 콘을 선택할 수도 있음

6 = 2 * 3

6 = 3 * 2

포커 풀 하우스 예제

_{52}C_5

52장의 카드 중 5장의 카드를 뽑을 때,

카드가 완전히 섞였다고 가정, 다섯 장의 카드 집합은 동일한 가능성을 가진다는 가정

✅ 이항계수(Binomial Coefficient)

\Large{n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}

, n명의 사람 중 k명을 선택하는 방법의 수

크기 n의 집합에서 만들 수 있는 크기 k인 부분집합의 수(순서 관계 없이)

k가 n보다 크면 0이라고 정의 → 불가능한 사건

k의 크기를 가지는 부분집합 선택, 순서 상관 X

샘플링

복원, 비복원

참고자료

사회·과학·정부 자료

Institute for Quantitative Social Science

https://www.iq.harvard.edu/

금융 관련 추천 강의

STAT-110(현재) ➡️ STAT-123

포커 확률

포커로 알아보는 확률 이야기

일반적인 트럼프는 4x13=52 장의 카드로 구성되어있다. 이 카드를 이용하여 포커를 할 경우 나타날 수 있는 포커패의 확률을 구해보자. 이것이 이미지 프로세싱과 무슨 상관이 있냐고 물어보면 명쾌한 답변은 할 수 없지만, 확률이란 것이 이미지 프로세싱에서 차지하는 비중이 적지 않기에, 머리써서 공부해보면 분명 도움이 될께다. 우선 간단하게 5장의 카드를 받는 파이브 포커에 대해서 생각해보자. (많이들 하는 세븐 포커에서의 확률은 간단히 확장시킬 수 있다) 우선 각각의 경우의 수를 계산하기 위해 combination을 계산해야 하는데, 카드 52장에서 5장의 카드를 선택하는 방법의 가지수는 52C5 로 계산할 수 있다. 그러므로, 각 포커패가 나올 수 있는 확률은 그 포커패가 나올 경우의 수를 52C5 로..

https://kkokkal.tistory.com/448

참고한 강의 노트

Lecture 1. Probability and Counting

Lecture 1. Probability and Counting (2021-02-03) 본 내용은 하버드에서 제공하는 STAT-110 (확률...

https://m.blog.naver.com/skkong89/222229851331

Contents

1. 확률과 셈 원리 ✅ 확률의 정의 ✅ Naive define of Probability ✅ 셈 원리(Counting Principle)✅ 이항계수(Binomial Coefficient)

Probability

1. Probability and Counting

확률의 기초 용어(표본공간과 사건, 셈 원리)

Aug 22, 2023

Contents

1. 확률과 셈 원리 ✅ 확률의 정의 ✅ Naive define of Probability ✅ 셈 원리(Counting Principle)✅ 이항계수(Binomial Coefficient)

이미지 출처) 강쌤의 수학 블로그

1. 확률과 셈 원리

수리통계학, 시뮬레이션에 근간이 되는 내용

[하버드] 확률론 기초: Statistics 110

부스트코스 무료 강의

https://www.boostcourse.org/ai152/joinLectures/195039

모르면 모른다고 사실대로

전략 연습 문제를 보면, 풀이에 대한 설명과 정당화, 생각하는 방식 등을 예제로 볼 수 있다.

✅ 확률론의 활용영역

유전학, 물리학, 계랑경제학, 금융, 역사학, 정치

인문학, 사회과학계에서도 중요도와 활용이 늘어나고 있음

도박과 게임 - 통계에서 여러 번 연구된 주제이다(페르마, 파스칼)

인생 전반: (수학이 활실성에 대한 학문이라면,) 확률은 불확실성(uncertainty)을 계량화하는 것을 가능하게 해 준다.

Mostella & Wallace의 Federalist Papers

미국 헌법 비준과 관련

확률, 베이즈 규칙 사용

Mosteller & Wallace Apply Computing in Disputed Authorship Investigation of The Federalist Papers : History of Information

Mosteller & Wallace Apply Computing in Disputed Authorship Investigation of The Federalist Papers

https://www.historyofinformation.com/detail.php?id=4333

Gambling

54장

스페이드 하트 다이아몬드 클럽 4종

에이스 2~10 잭 퀸 킹 13종

13*4 + 조커 2장 = 54장

확률에서 카드를 얘기할 때는 52장으로 보는 듯

Fermat & Pascal 서신

도박의 확률에 대해 언급

편지를 주고받음으로써 확률로 작업하는 방법을 개발

Issac Newton

주사위 도박에 대해 틀렸었음

직관에 어긋나 있음

확률은 직관에 어긋나있는 게 많다. 문제를 많이 풀어야 직관적으로 생각할 수 있다.

✅ 확률의 정의

수학 = 확실성의 논리

확률 = 불확실성의 논리 ( 불확실성을 수치로 나타내는 것)

실험(experiment): 가능한 특정한 결과가 존재

표본 공간(Sample space): 실험의 모든 가능한 결과의 집합

A Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment

사건(event): 표본공간의 부분 집합

An event is a subset of the sample space.

P(A) = \dfrac{A사건이 일어나는 경우의 수}{모든 사건이 일어나는 경우의 수}

⭐사건을 부분 집합(subset)으로 생각하기

실험: 2개의 주사위를 굴린다고 가정

표본 공간 = 36개의 결과 = 집합

A = 하나의 사건 = 어떤 부분 집합

확통을 배우는 내내 생각할 질문

어떤 특정한 사건이 발생할 승산(odds)이 무엇일까?

순환논리(circularity)

동전이 공정하다는 것은 앞면과 뒷면이 나올 확률이 같다는 것

동등한 가능성으로 취급하고 어떤 사건의 확률을 알고 싶다면, 다음과 같이 구할 수 있다.

✅ Naive define of Probability

P(A) = 사건 A에 대한 확률

P(A) = \dfrac{A사건이 일어나는 경우의 수}{모든 사건이 일어나는 경우의 수}

내포하고 있는 가정 - 가정을 분명히 하기

동등한 가능성 → 모든 결과가 같은 확률로 나온다. → 대칭성(symmetry)

유한한 많은 결과가 있다. → 유한 표본 공간(finite sample space) → 유한한 분모

모든 사건이 발생할 확률은 같다

유한한 표본공간

항상 이 가정이 만족되는 것은 아니기 때문에 적용 불가한 경우들이 있다!

✅ 셈 원리(Counting Principle)

곱의 법칙(multiplication rule)

발생 가능한 경우의 수가 n1, n2, …, nr가지인 1, 2, … r번의 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 수는 n1 x n2 x … x nr

실험은 순차적으로 진행하게 됨

결합된 실험(Combined experiments) = 전체적인 가능한 실험의 결과

귀납법을 사용해서 증명 가능
트리 다이어그램을 통해 가시화 가능

아이스크림 예제

초콜릿 바닐라 스트로베리, 2개의 서로 다른 콘 타입

첫 번째 실험: 2개의 콘 타입 중 하나 선택

두 번째 실험: 원하는 맛을 선택

콘 타입을 선택하면 맛 하나를 선택할 수 있음

맛을 선택하고 콘을 선택할 수도 있음

6 = 2 * 3

6 = 3 * 2

포커 풀 하우스 예제

_{52}C_5

52장의 카드 중 5장의 카드를 뽑을 때,

카드가 완전히 섞였다고 가정, 다섯 장의 카드 집합은 동일한 가능성을 가진다는 가정

✅ 이항계수(Binomial Coefficient)

\Large{n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}

, n명의 사람 중 k명을 선택하는 방법의 수

크기 n의 집합에서 만들 수 있는 크기 k인 부분집합의 수(순서 관계 없이)

k가 n보다 크면 0이라고 정의 → 불가능한 사건

k의 크기를 가지는 부분집합 선택, 순서 상관 X

샘플링

복원, 비복원

참고자료

사회·과학·정부 자료

Institute for Quantitative Social Science

https://www.iq.harvard.edu/

금융 관련 추천 강의

STAT-110(현재) ➡️ STAT-123

포커 확률

포커로 알아보는 확률 이야기

https://kkokkal.tistory.com/448

참고한 강의 노트

Lecture 1. Probability and Counting

Lecture 1. Probability and Counting (2021-02-03) 본 내용은 하버드에서 제공하는 STAT-110 (확률...

https://m.blog.naver.com/skkong89/222229851331

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1. 확률과 셈 원리 ✅ 확률의 정의 ✅ Naive define of Probability ✅ 셈 원리(Counting Principle)✅ 이항계수(Binomial Coefficient)